Cтраница 1

Погрешность метода - это составляющая погрешности измерения, происходящая от несовершенства метода измерений.  

Погрешность метода Е представляет собой ошибку, происходящую от замены точного алгоритма решения приближенным. Поэтому метод вычислений должен быть выбран так, чтобы погрешность его на последнем шаге вычислений не превышала заданной величины.  

Погрешность метода не превосходит полутора делении. Поскольку число зубьев делительного колеса станка некратно числу пазов в диске датчика то в момент подачи сигнала червяк делительной передачи станка оказывается в различных угловых положениях. Это создает возможность определить суммарную точность делительной передачи, а при необходимости выделить также и погрешность колеса и червяка. Для этого применяют методы гармонического анализа. Если датчик стола имеет 40 пазов, то могут быть рассчитаны амплитуды и фазы 19 гармоник, по которым выясняют звенья цепи, являющиеся источниками погрешностей, или может быть настроено коррекционное устройство.  

Погрешность метода, естественно, не учитывается, так как в обоих случаях метод измерения один и тот же.  

Погрешность метода возникает вследствие недостаточной разработанности теории тех явлений, которые положены в основу измерения, и тех соотношений, которые используются для оценки измеряемой величины.  

Погрешность метода Е представляет собой ошибку, происходящую от замены точного алгорифма решения приближенным. Поэтому метод вычислений должен быть выбран так, чтобы погрешность его на последнем шаге вычислений не превышала заданной величины.  

Погрешность метода оценивается в 1 % измеряемой влажности. Градуиро-вочные зависимости позволяют оценить диапазон измеряемых влажностей величиной от 0 до 20 %; при больших влажностях наличие пленки конденсата значительно завышает результаты измерения. Метод неприменим в потоках малой скорости из-за значительных ошибок, вносимых достаточно толстой пленкой на стенках камеры датчика. Целесообразный диапазон рабочих скоростей потока влажного пара составляет М0 3 - г - I. К недостаткам метода следует отнести сложность аппаратуры и зондов, а также необходимость корректировки нуля прибора с течением времени.  

Погрешность метода при других комбинациях граничных условий будет находиться в пределах, представленных таблицей 7.2. При этом всегда соблюдается соответствие: если нагрузка кусочно-непрерывная функция, то результаты метода больше эталонных, если нагрузка сосредоточенная, то - меньше. Очевидно, это связано с тем, что один член разложения описывает кусочно-непрерывную нагрузку с избытком, а сосредоточенную - с недостатком.  

Погрешность метода равна 5 мкг азота.  

Погрешность метода иначе называют теоретической погрешностью.  

Погрешность метода определяется точностью измерения расстояния от поверхности тела до проксимальной поверхности печени, которое измерялось ультразвуковым методом.  

ВВЕДЕНИЕ

Любые измерения, как бы тщательно их ни выполняли, сопровождаются погрешностями (ошибками), т. е. отклонениями измеренных величин от их истинного значения. Это объясняется тем, что в процессе измерений непрерывно меняются условия: состояние внешней среды, мерного прибора и измеряемого объекта, а также внимание исполнителя. Поэтому при измерении величины всегда получают ее приближенное значение, точность которого требуется оценить. Возникает и другая задача: выбрать прибор, условия и методику, чтобы выполнить измерения с заданной точностью. Эти задачи помогает решить теория ошибок, которая изучает законы распределения погрешностей, устанавливает критерии оценки и допуски к точности измерений, способы определения вероятнейшего значения определяемой величины, правила предвычисления ожидаемых точностей.

12.1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Измерением называют процесс сравнения измеряемой величины с другой, принятой за единицу измерения известной величиной.
Все величины, с которыми мы имеем дело, подразделяют на измеренные и вычисленные. Измеренной величиной называют ее приближенное значение, найденное путем сравнения с однородной единицей меры. Так, последовательно укладывая землемерную ленту по заданному направлению и подсчитывая число уложений, находят приближенное значение длины участка.
Вычисленной величиной называют ее значение, определенное по другим измеренным величинам, функционально с ней связанным. Например, площадь участка прямоугольной формы есть произведение его измеренных длины и ширины.
Для обнаружения промахов (грубых ошибок) и повышения точности результатов одну и ту же величину измеряют несколько раз. По точности такие измерения подразделяют на равноточные и неравноточные. Равноточные - однородные многократные результаты измерения одной и той же величины, выполненные одним и тем же прибором (или разными приборами одного и того же класса точности), одинаковыми способом и числом приемов, в идентичных условиях. Неравноточные - измерения, выполненные при несоблюдении условий равноточности.
При математической обработке результатов измерений большое значение имеет число измеренных величин. Например, чтобы получить величину каждого угла треугольника, достаточно измерить лишь два из них - это и будет необходимое число величин. В общем случае для решения любой топографо-геодезической задачи необходимо измерить некоторое минимальное число величин, обеспечивающее решение поставленной задачи. Их называют числом необходимых величин или измерений. Но чтобы судить о качестве измерений, проконтролировать их правильность и повысить точность результата, измеряют и третий угол треугольника - избыточный . Числом избыточных величин (k ) называют разность между числом всех измеренных величин (п ) и числом необходимых величин (t ):

k = п - t

В топографо-геодезической практике избыточные измеренные величины обязательны. Они позволяют обнаруживать ошибки (погрешности) в измерениях и вычислениях и повышают точность определяемых величин.

По физическому исполнению измерения могут быть прямые, косвенные и дистанционные.
Прямые измерения являются простейшими и в историческом плане первыми видами измерений, например, измерение длин линий землемерной лентой или рулеткой.
Косвенные измерения основываются на использовании некоторых математических зависимостей между искомыми и непосредственно измеряемыми величинами. Например, площадь прямоугольника на местности определяют, измерив длины его сторон.
Дистанционные измерения основываются на использовании ряда физических процессов и явлений и, как правило, связаны с использованием современных технических средств: светодальномеров, электронных тахеометров, фототеодолитов и т.д.

Измерительные приборы, используемые в топографо-геодезическом производстве, можно разделить на три основных класса :

• высокоточные (прецизионные);
• точные;
• технические.

12.2. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

При многократном измерении одной и той же величины каждый раз получают несколько отличающиеся результаты, как по абсолютной величине, так и по знакам, каким бы опытом не обладал исполнитель и какими бы высокоточными приборами он не пользовался.
Погрешности различают: грубые, систематические и случайные.
Появление грубых погрешностей (промахов ) связано с серьезными ошибками при производстве измерительных работ. Эти ошибки легко выявляются и устраняются в результате контроля измерений.
Систематические погрешности входят в каждый результат измерений по строго определенному закону. Они обусловлены влиянием конструкции измерительных приборов, погрешностями градуировки их шкал, износом и т. д. (инструментальные погрешности) иливозникают из-за недоучета условий измерений и закономерностей их изменений, приближенности некоторых формул и др. (методические погрешности). Систематические погрешности делятся на постоянные (неизменные по знаку и вели чине) и переменные (изменяющие свою величину от одного измерения к другому по определенному закону).
Такие погрешности заранее определимы и могут быть сведены к необходимому минимуму путем введения соответствующих поправок.
Например , заранее может быть учтено влияние кривизны Земли на точность определения вертикальных расстояний, влияние температуры воздуха и атмосферного давления при определении длин линий светодальномерами или электронными тахеометрами, заранее можно учесть влияние рефракции атмосферы и т. д.
Если не допускать грубых погрешностей и устранять систематические, то качество измерений будет определяться только случайными погрешностями. Эти погрешности неустранимы, однако их поведение подчиняется законам больших чисел. Их можно анализировать, контролировать и сводить к необходимому минимуму.
Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результаты измерений прибегают к многократным измерениям, к улучшению условий работы, выбирают более совершенные приборы, методы измерений и осуществляют тщательное их производство.
Сопоставляя ряды случайных погрешностей равноточных измерений можно обнаружить, что они обладают следующими свойствами:
а) для данного вида и условий измерений случайные погрешности не могут превышать по абсолютной величине некоторого предела;
б) малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших;
в) положительные погрешности появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные;
г) среднее арифметическое из случайных погрешностей одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Распределение ошибок, соответствующее указанным свойствам, называется нормальным (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Кривая нормального распределения случайных погрешностей Гаусса

Разность между результатом измерения некоторой величины (l ) и ее истинным значением (X ) называют абсолютной (истинной) погрешностью .

Δ = l - X

Истинное (абсолютно точное) значение измеряемой величины получить невозможно, даже используя приборы самой высокой точности и самую совершенную методику измерений. Лишь в отдельных случаях может быть известно теоретическое значение величины. Накопление погрешностей приводит к образованию расхождений между результатами измерений и действительными их значениями.
Разность суммы практически измеренных (или вычисленных) величин и теоретического ее значения называется невязкой . Например, теоретическая сумма углов в плоском треугольнике равна 180º, а сумма измеренных углов оказалась равной 180º02"; тогда погрешность суммы измеренных углов составит +0º02". Эта погрешность будет угловой невязкой треугольника.
Абсолютная погрешность не является, полным показателем точности выполненных работ. Например, если некоторая линия, фактическая длина которой составляет 1000 м , измерена землемерной лентой с ошибкой 0,5 м , а отрезок длиною 200 м - с ошибкой 0,2 м , то, несмотря на то, что абсолютная погрешность первого измерения больше второго, все же первое измерение было выполнено с точностью в два раза более высокой. Поэтому вводят понятие относительной погрешности :

Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины Δ к измеренной величине l называют относительной погрешностью .

Относительные погрешности всегда выражаются дробью с числителем, равным единице (аликвотная дробь). Так, в приведенном выше примере относительная погрешность первого измерения составляет

а второго

12.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть некоторая величина с истинным значением X измерена равноточно n раз и получены результаты: l 1 , l 2 , l 3 , … l i (i = 1, 2, 3, … n ), которые часто называют рядом измерений. Требуется найти наиболее надежное значение измеренной величины, которое называют вероятнейшим , и оценить точность результата.
В теории погрешностей наиболее вероятным значением для ряда равноточных результатов измерений принимают среднее арифметическое , т. е.

(12.1)

При отсутствии систематических погрешностей арифметическое среднее по мере неограниченного возрастания числа измерений стремится к истинному значению измеряемой величины.
Чтобы усилить влияние более крупных погрешностей на результат оценки точности ряда измерений, пользуются среднеквадратической погрешностью (СКП ). Если известно истинное значение измеряемой величины, а систематическая погрешность пренебрежимо мала, то средняя квадратическая погрешность (m ) отдельного результата равноточных измерений определяется по формуле Гаусса:

m = (12.2) ,

где Δ i - истинная погрешность.

В геодезической практике истинное значение измеряемой величины в большинстве случаев заранее неизвестно. Тогда среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений вычисляют по вероятнейшим погрешностям (δ ) отдельных результатов измерений (l i ); по формуле Бесселя:

m = (12.3)

Где вероятнейшие погрешности (δ i ) определяются как отклонение результатов измерений от арифметического среднего

δ i = l i - µ

Часто рядом с вероятнейшим значением величины записывают и ее среднюю квадратическую погрешность (m ), например 70°05" ± 1". Это означает, что точное значение угла может быть больше или меньше указанного на 1". Однако эту минуту нельзя ни добавить к углу, ни вычесть из него. Она характеризует лишь точность получения результатов при данных условиях измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

• больше средней квадратической m в 32 случаях из 100;
• больше удвоенной средней квадратической 2m в 5 случаях из 100;
• больше утроенной средней квадратической 3m в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

Δ пред. = 3m

Предельной погрешностью называется такое значение случайной погрешности, появление которого при данных условиях измерений маловероятно.

В качестве предельной также принимают среднюю квадратическую погрешность, равную

Δ пред = 2,5m ,

С вероятностью ошибки, равной порядка 1%.

Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых

m S 2 = m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + .....+ m n 2

В частном случае, когда m 1 = m 2 = m 3 = m n = m для определения средней квадратической погрешности арифметической средней пользуются формулой

m S =

Средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Пример.
Если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит

m угл = 30 " = ±1,5"

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего
(точность определения среднего арифметического)

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (m µ ) в раз меньше среднего квадратического одного измерения.

Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений .

Например , требуется определить величину угла с точностью ± 15 секунд при наличии 30-секундного теодолита.

Если измерить угол 4 раза (n ) и определить арифметическое среднее, то средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (m µ ) составит ± 15 секунд.

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего ( m µ ) показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.

Пример
Произведено 5-кратное измерение длины одной линии.
По результатам измерений вычислить: вероятнейшее значение ее длины L (среднее арифметическое); вероятнейшие погрешности (отклонения от среднего арифметического); среднюю квадратическую погрешность одного измерения m ; точность определения среднего арифметического mµ , и вероятнейшее значение длины линии с учетом среднеквадратической погрешности среднего арифметического (L ).

Обработка результатов измерения расстояния (пример)

Таблица 12.1.

Номер измерения	Результат измерения, м	Вероятнейшие погрешности d i , см	Квадрат вероятнейшей погрешности, см 2	Характеристика точности
				m =±= ±19 см m µ = 19 см/= ±8 см
		Σd i = 0	[Σd i ]2 = 1446	L = (980,65 ±0,08) м

12.4. ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При неравноточных измерениях, когда результаты каждого измерения нельзя считать одинаково надежными, уже нельзя обойтись определением простого арифметического среднего. В таких случаях учитывают достоинство (или надежность) каждого результата измерений.
Достоинство результатов измерений выражают некоторым числом, называемым весом этого измерения . Очевидно, что арифметическое среднее будет иметь больший вес по сравнению с единичным измерением, а измерения, выполненные при использовании более совершенного и точного прибора, будут иметь большую степень доверия, чем те же измерения, выполненные прибором менее точным.
Поскольку условия измерений определяют различную величину средней квадратической погрешности, то последнюю и принято принимать в качестве основы оценки весовых значений, проводимых измерений. При этом веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических погрешностей .
Так, если обозначить через р и Р веса измерений, имеющие средние квадратические погрешности соответственно m и µ , то можно записать соотношение пропорциональности:

Например, если µ средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, а m - соответственно, одного измерения, то, как следует из

можно записать:

т. е. вес арифметического среднего в n раз больше веса единичного измерения .

Аналогичным образом можно установить, что вес углового измерения, выполненного 15-секундным теодолитом, в четыре раза выше веса углового измерения, выполненного 30-секундным прибором.

При практических вычислениях обычно вес одной какой-либо величины принимают за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений. Так, в последнем примере если принять вес результата углового измерения 30-секундным теодолитом за р = 1, то весовое значение результата измерения 15-секундным теодолитом составит Р = 4.

12.5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛЕВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ОБРАБОТКЕ

Все материалы геодезических измерений состоят из полевой документации, а также документации вычислительных и графических работ. Многолетний опыт производства геодезических измерений и их обработки позволил разработать правила ведения этой документации.

Оформление полевых документов

К полевым документам относят материалы поверок геодезических приборов, журналы измерений и бланки специальной формы, абрисы, пикетажные журналы. Вся полевая документация считается действительной только в подлиннике. Она составляется в единственном экземпляре и в случае утраты может быть восстановлена лишь повторными измерениями, что практически не всегда возможно.

Правила ведения полевых журналов сводятся к следующим.

1. Заполнять полевые журналы следует аккуратно, все цифры и буквы должны быть записаны четко и разборчиво.
2. Исправление цифр и их подчистка, а также написание цифры по цифре не допускаются.
3. Ошибочные записи отсчетов зачеркиваются одной чертой и справа указывается «ошибочно» или «описка», а правильные результаты надписываются сверху.
4. Все записи в журналах ведутся простым карандашом средней твердости, чернилами или шариковой ручкой; использование для этого химических или цветных карандашей не рекомендуется.
5. При выполнении каждого вида геодезических съемок записи результатов измерений делают в соответствующих журналах установленной формы. До начала работ страницы журналов пронумеровывают и их число заверяет руководитель работ.
6. В процессе полевых работ страницы с забракованными результатами измерений зачеркивают по диагонали одной чертой, указывают причину брака и номер страницы, содержащей результаты повторных измерений.
7. В каждом журнале на заглавном листе заполняют сведения о геодезическом приборе (марка, номер, средняя квадратическая погрешность измерения), записывают дату и время наблюдений, метеоусловия (погода, видимость и т. п.), фамилии исполнителей, приводят необходимые схемы, формулы и примечания.
8. Журнал должен заполняться таким образом, чтобы другой исполнитель, не участвующий в полевых работах, мог безошибочно выполнить последующую обработку результатов измерений. При заполнении полевых журналов следует придерживаться следующих форм записи:
а) числа в столбцах записываются так, чтобы все цифры соответствующих разрядов располагались одна под другой без смещения.
б) все результаты измерений, выполненных с одинаковой точностью, записывают с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример
356,24 и 205,60 м — правильно,
356,24 и 205,6 м — неправильно;
в) значения минут и секунд при угловых измерениях и вычислениях всегда записывают двузначным числом.

Пример
127°07"05" , а не 127º7"5" ;

г) в числовых значениях результатов измерений записывают такое количество цифр, которое позволяет получить отсчетное устройство соответствующего средства измерений. Например, если длина линии измеряется рулеткой с миллиметровыми делениями и отсчитывание проводится с точностью до 1 мм, то отсчет должен быть записан 27,400 м, а не 27,4 м. Или если угломерный прибор позволяет отсчитывать только целые минуты, то отсчет запишется как 47º00", а не 47º или 47º00"00».

12.5.1. Понятие о правилах геодезических вычислений

К обработке результатов измерений приступают после проверки всех полевых материалов. При этом следует придерживаться выработанных практикой правил и приемов, соблюдение которых облегчает труд вычислителя и позволяет ему рационально использовать вычислительную технику и вспомогательные средства.
1. Перед началом обработки результатов геодезических измерений следует разработать подробную вычислительную схему, в которой указывается последовательность действий, позволяющая получить искомый результат наиболее простым и быстрым путем.
2. С учетом объема вычислительных работ выбирать наиболее оптимальные средства и способы вычислений, требующие наименьших затрат при обеспечении необходимой точности.
3. Точность результатов вычислений не может быть выше точности измерений. Поэтому заранее следует задаваться достаточной, но не излишней точностью вычислительных действий.
4. При вычислениях нельзя пользоваться черновиками, так как переписывание цифрового материала отнимает много времени и часто сопровождается ошибками.
5. Для записей результатов вычислений рекомендуется использование специальных схем, бланков и ведомостей, определяющих порядок расчетов и обеспечивающих промежуточный и общий контроль.
6. Без контроля вычисление не может считаться законченным. Контроль можно выполнять, используя другой ход (способ) решения задачи либо выполняя повторные вычисления другим исполнителем (в «две руки»).
7. Вычисления всегда заканчиваются определением погрешностей и обязательным их сравнением с допусками, предусматриваемыми соответствующими инструкциями.
8. Особые требования при вычислительных работах предъявляются к аккуратности и четкости записи чисел в вычислительных бланках, поскольку небрежности в записях приводят к ошибкам.
Как и в полевых журналах, при записях столбцов чисел в вычислительных схемах цифры одинаковых разрядов следует располагать одна под другой. При этом дробную часть числа отделяют запятой; многоразрядные числа желательно записывать с интервалами, например: 2 560 129,13. Записи вычислений следует вести только чернилами прямым шрифтом; ошибочные результаты аккуратно перечеркивать и сверху писать исправленные значения.
При обработке материалов измерений следует знать, с какой точностью должны быть получены результаты вычислений, чтобы не оперировать с излишним числом знаков; если окончательный результат вычисления получается с большим числом знаков, чем это необходимо, то производят округление чисел.

12.5.2. Округление чисел

Округлить число до n знаков - значит сохранить в нем первые n значащих цифр.
Значащие цифры числа - это все его цифры от первой слева, отличной от нуля, до последней записанной цифры справа. При этом нули справа не считаются значащими цифрами, если они заменяют неизвестные цифры или поставлены вместо других цифр при округлении данного числа.
Например, число 0,027 имеет две значащие цифры, а число 139,030 - шесть значащих цифр.

При округлении чисел следует придерживаться следующих правил.
1. Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя оставляемая цифра сохраняется без изменения.
Например, число 145,873 после округления до пяти значащих цифр будет 145,87.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.
Например, число 73,5672 после округления его до четырех значащих цифр будет 73,57.
3. Если последней цифрой округляемого числа является цифра 5 и она должна быть отброшена, то предшествующую ей цифру в числе увеличивают на единицу только в том случае, если она нечетная (правило четной цифры).
Например, числа 45,175 и 81,325 после округления до 0,01 будут соответственно 45,18 и 81,32.

12.5.3. Графические работы

Ценность графических материалов (планов, карт и профилей), являющихся конечным результатом геодезических съемок, в значительной мере определяется не только точностью полевых измерений и правильностью вычислительной их обработки, но и качеством графического исполнения. Графические работы должны выполняться с помощью тщательно проверенных чертежных инструментов: линеек, треугольников, геодезических транспортиров, циркулей-измерителей, остро отточенных карандашей (Т и ТМ) и т. п. Большое влияние на качество и производительность чертежных работ оказывает организация рабочего места. Чертежные работы должны выполняться на листах качественной чертежной бумаги, закрепленных на ровном столе либо на специальной чертежной доске. Составленный карандашный оригинал графического документа после тщательной проверки и корректировки оформляют в туши в соответствии с установленными условными знаками.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что значит выражение: «измерить какую-либо величину»?
2. Как классифицируют измерения?
3. Как классифицируют измерительные приборы?
4. Как классифицируют результаты измерений по точности?
5. Какие измерения называют равноточными?
6. Что означают понятия: «необходимое и избыточное число измерений»?
7. Как классифицируют ошибки измерения?
8. Чем обусловлены систематические погрешности?
9. Какими свойствами обладают случайные погрешности?
10. Что называют абсолютной (истинной) погрешностью?
11. Что называют относительной погрешностью?
12. Что называют в теории погрешностей средним арифметическим?
13. Что называют в теории погрешностей средней квадратической погрешностью?
14. Чему равна предельная средняя квадратическая погрешность?
15. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений и средняя квадратическая погрешность одного слагаемого?
16. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность арифметического среднего и средняя квадратическая погрешность одного измерения?
17. Что показывает средняя квадратическая погрешность арифметического среднего?
18. Какай параметр принимают в качестве основы оценки весовых значений?
19. Как соотносятся вес арифметического среднего и вес единичного измерения?
20. Какие правила приняты в геодезии для ведения полевых журналов?
21. Перечислите основные правила геодезических вычислений.
22. Округлите до 0,01 числа 31,185 и 46,575.
23. Перечислите основные правила выполнения графических работ.

Вследствие погрешностей, присущих средству измерений, выбранному методу и методике измерений, отличия внешних условий, в которых выполняется измерение, от установленных, и других причин результат практически каждого измерения отягощен погрешностью. Эта погрешность вычисляется или оценивается и приписывается полученному результату.

Погрешность результата измерений (кратко — погрешность измерений) — отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинное значение величины вследствие наличия погрешностей остается неизвестным. Его применяют при решении теоретических задач метрологии. На практике пользуются действительным значением величины, которое заменяет истинное значение.

Погрешность измерения (Δх) находят по формуле:

x = x изм. - x действ. (1.3)

где х изм. — значение величины, полученное на основании измерений; х действ. — значение величины, принятое за действительное.

За действительное значение при однократных измерениях нередко принимают значение, полученное с помощью образцового средства измерений, при многократных измерениях — среднее арифметическое из значений отдельных измерений, входящих в данный ряд.

Погрешности измерения могут быть классифицированы по следующим признакам:

По характеру проявления — систематические и случайные;

По способу выражения — абсолютные и относительные;

По условиям изменения измеряемой величины — статические и динамические;

По способу обработки ряда измерений — средние арифметические и средние квадратические;

По полноте охвата измерительной задачи — частные и полные;

По отношению к единице физической величины — погрешности воспроизведения единицы, хранения единицы и передачи размера единицы.

Систематическая погрешность измерения (кратко — систематическая погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные, прогрессивные и периодические. Постоянные систематические погрешности (кратко — постоянные погрешности) — погрешности, длительное время сохраняющие свое значение (например, в течение всей серии измерений). Это наиболее часто встречающийся вид погрешности.

Прогрессивные систематические погрешности (кратко — прогрессивные погрешности) — непрерывно возрастающие или убывающие погрешности (например, погрешности от износа измерительных наконечников, контактирующих в процессе шлифования с деталью при контроле ее прибором активного контроля).

Периодическая систематическая погрешность (кратко — периодическая погрешность) — погрешность, значение которой является функцией времени или функцией перемещения указателя измерительного прибора (например, наличие эксцентриситета в угломерных приборах с круговой шкалой вызывает систематическую погрешность, изменяющуюся по периодическому закону).

Исходя из причин появления систематических погрешностей, различают инструментальные погрешности, погрешности метода, субъективные погрешности и погрешности вследствие отклонения внешних условий измерения от установленных методиками.

Инструментальная погрешность измерения (кратко — инструментальная погрешность) является следствием ряда причин: износ деталей прибора, излишнее трение в механизме прибора, неточное нанесение штрихов на шкалу, несоответствие действительного и номинального значений меры и др.

Погрешность метода измерений (кратко — погрешность метода) может возникнуть из-за несовершенства метода измерений или допущенных его упрощений, установленных методикой измерений. Например, такая погрешность может быть обусловлена недостаточным быстродействием применяемых средств измерений при измерении параметров быстропротекающих процессов или неучтенными примесями при определении плотности вещества по результатам измерения его массы и объема.

Субъективная погрешность измерения (кратко — субъективная погрешность) обусловлена индивидуальными погрешностями оператора. Иногда эту погрешность называют личной разностью. Она вызывается, например, запаздыванием или опережением принятия оператором сигнала.

Погрешность вследствие отклонения (в одну сторону) внешних условий измерения от установленных методикой измерения приводит к возникновению систематической составляющей погрешности измерения.

Систематические погрешности искажают результат измерения, поэтому они подлежат исключению, насколько это возможно, путем введения поправок или юстировкой прибора с доведением систематических погрешностей до допустимого минимума.

Неисключенная систематическая погрешность (кратко — неисключенная погрешность) — это погрешность результата измерений, обусловленная погрешностью вычисления и введения поправки на действие систематической погрешности, или небольшой систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие малости.

Иногда этот вид погрешности называют неисключенными остатками систематической погрешности (кратко — неисключенные остатки). Например, при измерении длины штрихового метра в длинах волн эталонного излучения выявлено несколько неисключенных систематических погрешностей (i): из-за неточного измерения температуры — 1 ; из-за неточного определения показателя преломления воздуха — 2 , из-за неточного значения длины волны — 3 .

Обычно учитывают сумму неисключенных систематических погрешностей (устанавливают их границы). При числе слагаемых N ≤ 3 границы неисключенных систематических погрешностей вычисляют по формуле

При числе слагаемых N ≥ 4 для вычислений используют формулу

(1.5)

где k — коэффициент зависимости неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равномерном распределении. При Р = 0,99, k = 1,4, при Р = 0,95, k = 1,1.

Случайная погрешность измерения (кратко — случайная погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии измерений одного и того же размера физической величины. Причины случайных погрешностей: погрешности округления при отсчете показаний, вариация показаний, изменение условий измерений случайного характера и др.

Случайные погрешности вызывают рассеяние результатов измерений в серии.

В основе теории погрешностей лежат два положения, подтверждаемые практикой:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинакового числового значения, но разного знака, встречаются одинаково часто;

2. Большие (по абсолютному значению) погрешности встречаются реже, чем малые.

Из первого положения следует важный для практики вывод: при увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из серии измерений, уменьшается, так как сумма погрешностей отдельных измерений данной серии стремится к нулю, т. е.

(1.6)

Например, в результате измерений получен ряд значений электрического сопротивления (в которые введены поправки на действия систематических погрешностей): R 1 = 15,5 Ом, R 2 = 15,6 Ом, R 3 = 15,4 Ом, R 4 = 15,6 Ом и R 5 = 15,4 Ом. Отсюда R = 15,5 Ом. Отклонения от R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ом, R 3 = -0,1 Ом, R 4 = +0,1 Ом и R 5 = -0,1 Ом) представляют собой случайные погрешности отдельных измерений в данной серии. Нетрудно убедиться, что сумма R i = 0,0. Это свидетельствует о том, что погрешности отдельных измерений данного ряда вычислены правильно.

Несмотря на то, что с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей стремится к нулю (в данном примере она случайно получилась равной нулю), обязательно производится оценка случайной погрешности результата измерений. В теории случайных величин характеристикой рассеяния значений случайной величины служит дисперсия о2. "|/о2 = а называют средним квадратическим отклонением генеральной совокупности или стандартным отклонением.

Оно более удобно, чем дисперсия, так как его размерность совпадает с размерностью измеряемой величины (например, значение величины получено в вольтах, среднее квадратическое отклонение тоже будет в вольтах). Так как в практике измерений имеют дело с термином «погрешность», для характеристики ряда измерений следует применять производный от него термин «средняя квадратическая погрешность». Характеристикой ряда измерений может служить средняя арифметическая погрешность или размах результатов измерений.

Размах результатов измерений (кратко — размах) — алгебраическая разность наибольшего и наименьшего результатов отдельных измерений, образующих ряд (или выборку) из n измерений:

R n = X max - Х min (1.7)

где R n — размах; X max и Х min — наибольшее и наименьшее значения величины в данном ряду измерений.

Например, из пяти измерений диаметра d отверстия значения R 5 = 25,56 мм и R 1 = 25,51 мм оказались максимальным и минимальным его значением. В этом случае R n = d 5 — d 1 = 25,56 мм — 25,51 мм = 0,05 мм. Это означает, что остальные погрешности данного ряда менее 0,05 мм.

Средняя арифметическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя арифметическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из n равноточных независимых измерений, вычисляется по формуле

(1.8)

где Х і — результат і-го измерения, входящего в серию; х — среднее арифметическое из n значений величины: |Х і - X| — абсолютное значение погрешности i-го измерения; r — средняя арифметическая погрешность.

Истинное значение средней арифметической погрешности р определяется из соотношения

р = lim r, (1.9)

При числе измерений n > 30 между средней арифметической (r) и средней квадратической (s) погрешностями существуют соотношения

s = 1,25 r; r и= 0,80 s. (1.10)

Преимущество средней арифметической погрешности — простота ее вычисления. Но все же чаще определяют среднюю квадратическую погрешность.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя квадратическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из п равноточных независимых измерений, вычисляемая по формуле

(1.11)

Средняя квадратическая погрешность для генеральной выборки о, являющаяся статистическим пределом S, может быть вычислена при /і-мх > по формуле:

Σ = lim S (1.12)

В действительности число измерений всегда ограничено, поэтому вычисляется не σ, а ее приближенное значение (или оценка), которым является s. Чем больше п, тем s ближе к своему пределу σ.

При нормальном законе распределения вероятность того, что погрешность отдельного измерения в серии не превзойдет вычисленную среднюю квадратическую погрешность, невелика: 0,68. Следовательно, в 32 случаях из 100 или 3 случаях из 10 действительная погрешность может быть больше вычисленной.

Рисунок 1.2 Уменьшение значения случайной погрешности результата многократного измерения при увеличении числа измерений в серии

В серии измерений существует зависимость между средней квадратической погрешностью отдельного измерения s и средней квадратической погрешностью арифметического среднего S x:

которую нередко называют «правилом У n». Из этого правила следует, что погрешность измерений вследствие действия случайных причин может быть уменьшена в уn раз, если выполнять n измерений одного размера какой-либо величины, а за окончательный результат принимать среднее арифметическое значение (рис. 1.2).

Выполнение не менее 5 измерений в серии дает возможность уменьшить влияние случайных погрешностей более чем в 2 раза. При 10 измерениях влияние случайной погрешности уменьшается в 3 раза. Дальнейшее увеличение числа измерений не всегда экономически целесообразно и, как правило, осуществляется лишь при ответственных измерениях, требующих высокой точности.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения из ряда однородных двойных измерений S α вычисляется по формуле

(1.14)

где x" i и х"" i — і-ые результаты измерений одного размера величины при прямом и обратном направлениях одним средством измерений.

При неравноточных измерениях среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего в серии определяют по формуле

(1.15)

где p i — вес і-го измерения в серии неравноточных измерений.

Среднюю квадратическую погрешность результата косвенных измерений величины Y, являющейся функцией Y = F (X 1 , X 2 , X n), вычисляют по формуле

(1.16)

где S 1 , S 2 , S n — средние квадратические погрешности результатов измерений величин X 1 , X 2 , X n .

Если для большей надежности получения удовлетворительного результата проводят несколько серий измерений, среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения из m серий (S m) находят по формуле

(1.17)

Где n — число измерений в серии; N — общее число измерений во всех сериях; m — число серий.

При ограниченном числе измерений часто необходимо знать погрешность средней квадратической погрешности. Для определения погрешности S, вычисляемой по формуле (2.7), и погрешности S m , вычисляемой по формуле (2.12), можно воспользоваться следующими выражениями

(1.18)

(1.19)

где S и S m — средние квадратические погрешности соответственно S и S m .

Например, при обработке результатов ряда измерений длины х получены

= 86 мм 2 при n = 10,

= 3,1 мм

= 0,7 мм или S = ±0,7 мм

Значение S = ±0,7 мм означает, что из-за погрешности вычисления s находится в пределах от 2,4 до 3,8 мм, следовательно, десятые доли миллиметра здесь ненадежны. В рассмотренном случае надо записать: S = ±3 мм.

Чтобы иметь большую уверенность в оценке погрешности результата измерений, вычисляют доверительную погрешность или доверительные границы погрешности. При нормальном законе распределения доверительные границы погрешности вычисляют как ±t-s или ±t-s x , где s и s x — средние квадратические погрешности соответственно отдельного измерения в серии и среднего арифметического; t — число, зависящее от доверительной вероятности Р и числа измерений n.

Важным понятием является надежность результата измерений (α), т.е. вероятность того, что искомое значение измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал.

Например, при обработке деталей на станках в устойчивом технологическом режиме распределение погрешностей подчиняется нормальному закону. Предположим, что установлен допуск на длину детали, равный 2а. В этом случае доверительным интервалом, в котором находится искомое значение длины детали а, будет (а - а, а + а).

Если 2a = ±3s, то надежность результата a = 0,68, т. е. в 32 случаях из 100 следует ожидать выхода размера детали за допуск 2а. При оценивании качества детали по допуску 2a = ±3s надежность результата составит 0,997. В этом случае можно ожидать выхода за установленный допуск только трех деталей из 1000. Однако увеличение надежности возможно лишь при уменьшении погрешности длины детали. Так, для повышения надежности с a = 0,68 до a = 0,997 погрешность длины детали необходимо уменьшить в три раза.

В последнее время получил широкое распространение термин «достоверность измерений». В некоторых случаях он необоснованно применяется вместо термина «точность измерений». Например, в некоторых источниках можно встретить выражение «установление единства и достоверности измерений в стране». Тогда как правильнее сказать «установление единства и требуемой точности измерений». Достоверность нами рассматривается как качественная характеристика, отражающая близость к нулю случайных погрешностей. Количественно она может быть определена через недостоверность измерений.

Недостоверность измерений (кратко — недостоверность)— оценка несовпадения результатов в серии измерений вследствие влияния суммарного воздействия случайных погрешностей (определяемых статистическими и нестатистическими методами), характеризуемая областью значений, в которой находится истинное значение измеряемой величины.

В соответствии с рекомендациями Международного бюро мер и весов недостоверность выражается в виде суммарной средней квадратической погрешности измерений — Su включающей среднюю квадратическую погрешность S (определяемую статистическими методами) и среднюю квадратическую погрешность u (определяемую нестатистическими методами), т.е.

(1.20)

Предельная погрешность измерения (кратко — предельная погрешность) — максимальная погрешность измерения (плюс, минус), вероятность которой не превышает значение Р, при этом разность 1 - Р незначительная.

Например, при нормальном законе распределения вероятность появления случайной погрешности, равной ±3s, составляет 0,997, а разность 1-Р = 0,003 незначительна. Поэтому во многих случаях доверительную погрешность ±3s, принимают за предельную, т.е. пр = ±3s. В случае необходимости пр может иметь и другие соотношения с s при достаточно большом Р (2s, 2,5s, 4s и т.д.).

В связи с тем, в стандартах ГСИ вместо термина «средняя квадратическая погрешность» применен термин «среднее квадратическое откланение», в дальнейших рассуждениях мы будим придерживаться именно этого термина.

Абсолютная погрешность измерения (кратко — абсолютная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Так, погрешность Х измерения длины детали Х, выраженная в микрометрах, представляет собой абсолютную погрешность.

Не следует путать термины «абсолютная погрешность» и «абсолютное значение погрешности», под которым понимают значение погрешности без учета знака. Так, если абсолютная погрешность измерения равна ±2мкВ, то абсолютное значение погрешности будет 0,2 мкВ.

Относительная погрешность измерения (кратко — относительная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в долях значения измеряемой величины или в процентах. Относительную погрешность δ находят из отношений:

(1.21)

Например, имеется действительное значение длины детали х = 10,00 мм и абсолютное значение погрешности х = 0,01мм. Относительная погрешность составит

Статическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями статического измерения.

Динамическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями динамического измерения.

Погрешность воспроизведения единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины. Так, погрешность воспроизведения единицы при помощи государственного эталона указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности, характеризуемой ее границей; случайной погрешностью, характеризуемой средним квадратическим отклонением s и нестабильностью за год ν.

Погрешность передачи размера единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы. В погрешность передачи размера единицы входят неисключенные систематические погрешности и случайные погрешности метода и средств передачи размера единицы (например, компаратора).

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до
с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность
, где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина
называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2 . Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна
мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна
кг/м 3 .

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины
используется формула

, (1)

где - приборные ошибки прямых измерений величины , - частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

,
.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид

,

где
и
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.

погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где
- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки
, σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где - результат i -го измерения; - среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде
.

Интервал значений от
до
, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=… (7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

. (8)

.

.

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин
, можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y i

. (9)

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

Порядок выполнения работы

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

№ измерения
						; Абсолютная погрешность ; . 5. Относительная погрешность, или точность измерений ; Е = 0,5%. 6. Запись окончательного результата Окончательный результат для исследуемой величины записывается в виде , Е = 0,5%. Примечание. В окончательной записи число разрядов результата и абсолютной погрешности должно быть одинаковым. 6. Графическое представление результатов измерений Результаты физических измерений очень часто представляют в графической форме. Графики обладают рядом важных преимуществ и ценных свойств: а) дают возможность определить вид функциональной зависимости и пределы, в которых она справедлива; б) позволяют наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой; в) при построении графика сглаживают скачки в ходе функции, возникающие за счет случайных ошибок; г) дают возможность определять некоторые величины или проводить графическое дифференцирование, интегрирование, решение уравнения и др. Рафики, как правило, выполняются на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической, полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями x и у. При выборе начала координат следует руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась вся площадь чертежа (рис.2.). На координатах осях графика указываются не только названия или символы величин, но и единицы их измерения. Масштаб по осям координат следует выбирать так, чтобы измеряемые точки располагались по всей площади листа. При этом масштаб должен быть простым, чтобы при нанесении точек на график не производить арифметических подсчетов в уме. Экспериментальные точки на графике должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные при различных условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить разными цветами или разными значками. Если известна погрешность эксперимента, то вместо точки лучше изображать крест или прямоугольник, размеры которого по осям соответствуют этой погрешности. Не рекомендуется соединять экспериментальные точки между собой ломаной линией. Кривую на графике следует проводить плавно, следя за тем, чтобы экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой, как показано на рис.3. При построении графиков помимо системы координат с равномерным масштабом применяют так называемые функциональные масштабы. Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при подборе к данному графику формулы для определения его параметров. Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб (рис.4). Документ От конкретных условий, требований и возможностей оценки погрешности результатов измерений . Согласно общим положениям информационной теории... Погрешности измерений Документ В.И.Ивероновой. М., Наука, 1967. 4. П.В.Новицкий, И.А.Зограф. Оценка погрешностей результатов измерений . Л., Энергоатомиздат, 1991. 5. Лабораторные работы по... Методические указания по определению погрешностей при измерениях в лабораторном практикуме по физике Методические указания ... измерения искомой вели­чины в обязательном порядке входит оценка погрешности полу­ченного результата . Без такой оценки результат ... значение абсолютной погрешности и сам результат измерений . Как правило, точность оценки погрешности оказывается очень...

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерением называют нахождение значений физических величин опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения бывают прямые и косвенные. При прямом измерении искомое значение физической величины находят непосредственно с помощью измерительных приборов (например, измерение размеров тел с помощью штангенциркуля). Косвенным называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят на основании известной функциональной зависимости между измеряемой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, при определении объема V цилиндра измеряют его диаметр D и высоту Н, а затем по формуле p D 2 /4 вычисляют его объем.

Вследствие неточности измерительных приборов и трудности учета всех побочных явлений при измерениях неизбежно возникают погрешности измерений. Погрешностью или ошибкой измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.

Классификация погрешностей измерений

Погрешности разделяют на три вида:

1) грубые или промахи,

2) систематические,

3) случайные .

Грубые погрешности - это ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.

Систематические погрешности - ошибки, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль). Для того, чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.

Случайные погрешности - это ошибки, причина которых заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.). Случайные погрешности являются неустранимыми, они неизбежно присутствуют во всех измерениях, но их можно оценить, применяя методы теории вероятностей.

Обработка результатов прямых измерений

Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений:

x 1 , x 2 , ... x n .

Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.

Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое

. (1)

Здесь x i – результат i–го измерения; n – число измерений. Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной абсолютной погрешности D x, которую вычисляют по формуле

, (2)

где t(a ,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a . Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.

Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятного для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.

Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.

Таблица 1

Число измерений n	Доверительная вероятность a
			0,95	0,98
	1,38		12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

Из табл. 1 видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a . Практически выбирают a =0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.

Поясним смысл терминов абсолютная погрешность D x и доверительная вероятность a , используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность D x. Отложим D x от справа и слева. Полученный числовой интервал от (- D x) до (+ D x) называется доверительным интервалом . Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.

Рис.1

Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины x ист попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a .

Вычислив величину абсолютной погрешности D x по формуле (2), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x= ±D x.

Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность , которую обычно выражают в процентах,

. (3)

Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:

1. Провести измерения n раз.

2. Вычислить среднее арифметическое значение по формуле (1).

3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a =0.95).

4. По таблице 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.

5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (2) и сравнить ее с аппаратурной. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше.

6. По формуле (3) вычислить относительную ошибку e .

7. Записать окончательный результат

x= ±D x. с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a .

Обработка результатов косвенных измерений

Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x 1 , x 2 , ... x k некоторой функциональной зависимостью

Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

Среди величин x 1 , x 2 , ... x k имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную D y и относительную e погрешности величины y.

В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем – абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения

. (5)

Здесь , где - частная производная функции по переменной x i, при вычислении которой все величины, кроме x i , считаются постоянными; D x i – абсолютная погрешность величины x i . Если x i получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение и абсолютную погрешность D x вычисляют по формулам (1) и (2). Для всех измеренных величин x i задается одинаковая доверительная вероятность a . Если какие-либо из слагаемых, возводимых в квадрат, в выражении (5) меньше на порядок (в 10 раз) других слагаемых, то ими можно пренебречь. Это нужно учитывать при выборе табличных величин ( p , g и др.), входящих в формулу относительной погрешности. Их значение надо выбрать такими, чтобы их относительная погрешность была на порядок меньше наибольшей относительной погрешности.

Запишем конечный результат:

y= ±D y.

Здесь – среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (4) при подстановке в нее средних величин x i ; D y= e .

Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле

.

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить объем цилиндра:

. (6)

Здесь D – диаметр цилиндра, H – его высота, измеренная штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм. В результате многократных измерений найдем средние значения =10.0 мм и =40.0 мм. Относительную погрешность косвенного измерения объема цилиндра определяем по формуле

, (7)

где D D и D H – абсолютные ошибки прямых измерений диаметра и высоты. Их величины рассчитываем по формуле (2): D D=0.01 мм; D H=0.13 мм. Сравним вычисленные ошибки с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D не 0.01 мм, а 0.1 мм.

Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной ошибкой Dp / p в формуле (7) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных ошибок D D и D H видно, что наибольший вклад в относительную ошибку измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает e H =0.01. Следовательно, значение p нужно взять 3.14. В этом случае Dp / p » 0.001 (Dp =3.142-3.14=0.002).

В абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Примечания.

1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).

2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка последней значащей цифры.

Действия с приближенными числами

Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:

1) когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 – четыре значащих цифры);

2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 – только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.

Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934+3,24+1,188=5,3214 » 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.

2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632 ´ 2,8 ´ 3,53. Вместо этого выражения следует вычислять

8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата нужно вычислить за ней цифру. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу. Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.

3. Результат расчета значений функций x n , , lg(x ) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x . Например: .

Построение графиков

Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того, чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.

Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс, а значения функции – на оси ординат. Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).

Рис.2

Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1;10;100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин (рис. 2).

Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.

Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рисунок 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.

Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И УЧЕТ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx o , для второго - допускаемая погрешность Δx д . Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δx :

.

Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора.

Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора, но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.

Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.

Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек ± 1 мм.

Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± (3–4) мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0–25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равно цене деления, т.е. 0,01 мм.

При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г – 50 мг, при нагрузке меньше 20 г – 25 мг.

Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.