Одна из интереснейших задач геометрии, результат решения которой важен и в физике, и в химии, и в других областях - определение объемов. Занимаясь математикой в школе, детки часто задаются мыслью: «Зачем нам это нужно?» Мир вокруг кажется настолько простым и понятным, что определенные школьные знания относят к разряду «ненужных». Но стоит столкнуться, к примеру, с транспортировкой и возникает вопрос о том, как посчитать объем груза. Скажете, что ничего проще нет? Ошибаетесь. Знание расчетных формул, понятий "плотности вещества", "объемной плотности тел" становятся необходимы.

Школьные знания - практическая основа

Учителя школ, преподавая основы геометрии, предлагают нам такое определение объема: часть пространства, занимаемая телом. При этом формулы определения объемов давно записаны, и найти их можно в справочниках. Определить объем тела правильной формы человечество научилось задолго до появления трактатов Архимеда. Но только этот великий греческий мыслитель ввел методику, дающую возможность определить объем любой фигуры. Его умозаключения стали основой интегрального исчисления. Объемными считают фигуры, получаемые в процессе вращения плоских

Евклидова геометрия с определенной точностью позволяет определить объем:

Отличие плоских и объемных фигур не позволяет ответить на вопрос некоторых страдальцев о том, как посчитать объем прямоугольника. Это, примерно, так же, как найти то, не знаю что. Путаница в геометрическом материале возможна, при этом прямоугольником иногда называют прямоугольный параллелепипед.

Что предпринимать, если форма тела не столь четко определена?

Определение объема сложных геометрических конструкций - работа не из легких. Стоит руководствоваться несколькими незыблемыми принципами.

• Любое тело можно разбить на более простые части. Объем равен сумме объемов его отдельных частей.
• Равновеликие тела имеют равные объемы, параллельный перенос тел не меняет его объема.
• Единицей объема считают объем куба с ребром единичной длины.

Наличие тел неправильной формы (вспомним пресловутую корону царя Герона) не становится проблемой. Определение объемов тел вполне возможно. Это процесс непосредственного измерения объемов жидкости с погруженным в нее телом, который будет рассмотрен ниже.

Различные прикладные задачи на определение объема

Вернемся к проблеме: как посчитать объем перевозимых грузов. Каким является груз: фасованным или сыпучим? Каковы параметры тары? Вопросов больше, чем ответов. Немаловажным станет вопрос массы груза, поскольку транспорт отличается грузоподъемностью, а трассы - максимальным весом транспортного средства. Нарушение правил перевозки грозит штрафными санкциями.

Задача 1. Пусть груз представляет собой прямоугольные контейнеры, заполненные товаром. Зная вес товара и контейнера, можно с легкостью определить суммарный вес. Объем контейнера определяем как объем прямоугольного параллелепипеда.

Зная грузоподъемность транспорта, его габариты, можно просчитать возможный объем перевозимого груза. Верное соотношение этих параметров позволяет избежать катастрофы, преждевременного выхода транспорта из строя.

Задача 2. Груз - сыпучий материал: песок, щебень и тому подобное. На этом этапе без знаний физики обойтись может только классный специалист, опыт которого в грузоперевозках позволяет интуитивно определить предельно допустимый к перевозке объем.

Научный метод предполагает знание такого параметра, как груза.

Используется формула V=m/ρ, где m - масса груза, ρ - плотность материала. Перед тем как посчитать объем, стоит узнать плотность груза, что также совсем не сложно (таблицы, лабораторное определение).

Эта методика также замечательно работает при определении объемов жидких грузов. При этом как единицу измерения используют литр.

Определение объемов строительных форм

Вопрос определения объемов играет немаловажную роль в строительстве. Возведение домов, других сооружений - дело затратное, стройматериалы требуют внимательного отношения и предельно точного расчета.

Основа здания - фундамент - представляет собой обычно литую конструкцию, заполняемую бетоном. Перед тем необходимо определить тип фундамента.

Плитный фундамент - плита в виде прямоугольного параллелепипеда. Столбчатое основание - прямоугольные или цилиндрические столбы определенного сечения. Определив объем одного столба и умножив его на количество, можно рассчитать кубатуру бетона на весь фундамент.

Рассчитывая объем бетона для стен или перекрытий, поступают достаточно просто: определяют объем всей стены, умножая длину на ширину и высоту, затем отдельно определяют объемы оконных и дверных проемов. Разность объема стены и суммарного объема проемов - объем бетона.

Как определить объем здания?

Некоторые прикладные задачи требуют знаний об объеме зданий и сооружений. К ним относятся проблемы ремонта, реконструкции, определения влажности воздуха, вопросы, связанные с теплоснабжением и вентиляцией.

Прежде чем ответить на вопрос о том, как посчитать объем здания, делают замеры по внешней его стороне: площади сечения (длина умножается на ширину), высоты здания от нижней части первого этажа до чердака.

Определение внутренних объемов отапливаемых помещений проводят по внутренним обводкам.

Устройство систем отопления

Современные квартиры и офисы невозможно представить без системы отопления. Основной частью систем являются батареи и соединительные трубы. Как посчитать объем системы отопления? Полный объем всех секций отопления, который указан на самом радиаторе, необходимо сложить с объемом труб.

И на этом этапе встает проблема: как посчитать объем трубы. Представим, что труба - цилиндр, решение приходит само собой: используем формулу цилиндра. В отопительных системах трубы заполняются водой, поэтому необходимо знать площадь внутреннего сечения трубы. Для этого определяем ее внутренний радиус (R). Формула определения площади круга: S=πR 2 . Общая длина труб определяется по их протяженности в помещении.

Канализация в доме - система труб

Закладывая трубы для водоотведения, также стоит знать объем трубы. На этом этапе необходим внешний диаметр, действия аналогичны предыдущим.

Определение объема металла, который идет на изготовление трубы - также интересная задача. Геометрически труба - цилиндр с пустотами. Определить площадь кольца, лежащего в ее сечении - задача достаточно сложная, но решаемая. Более простой выход - определить внешний и внутренний объемы трубы, разность этих величин и будет объемом металла.

Определение объемов в задачах физики

Знаменитая легенда о короне царя Герона стала известной не только вследствие решения задачи выведения «на чистую воду» вороватых ювелиров. Итог сложной мыслительной деятельности Архимеда - определение объемов тел неправильной геометрической формы. Основная мысль, извлеченная философом - объем вытесненной телом жидкости равен объему тела.

В лабораторных исследованиях пользуются мерным цилиндром (мензуркой). Определяют объем жидкости (V 1), погружают в нее тело, выполняют вторичные измерения (V 2). Объем равен разности вторичных и первичных измерений: V т = V 2 - V 1 .

Такой метод определения объемов тел используют при вычислении объемной плотности сыпучих нерастворимых материалов. Он крайне удобен при определении плотности сплавов.

Вычислить объем булавки можно с применением этого метода. Кажется, достаточно сложно определить объем столь маленького тела, как булавка или дробинка. Линейкой его не измерить, мерный цилиндр также достаточно велик.

Но если использовать несколько совершенно одинаковых булавок (n), то можно при помощи мерного цилиндра определить их суммарный объем (V т = V 2 - V 1) . Затем полученную величину разделить на количество булавок. V= V т \n.

Эта задача становится понятной, если из одного большого куска свинца необходимо отлить множество дробинок.

Единицы измерения объема жидкости

Интернациональная система единиц предполагает измерение объемов в м 3 . В обыденной жизни чаще используют внесистемные единицы: литр, миллилитр. Когда определяются, как посчитать объем в литрах, используют систему перевода: 1 м 3 = 1000 литров.

Использование в повседневной жизни иных внесистемных мер может вызвать трудности. Англичане используют более привычные для них баррели, галлоны, бушели.

Система перевода:

Задачи с нестандартными данными

Задача 1. Как посчитать объем, зная высоту и площадь? Обычно такую задачу решают, определяя объем покрытия различных деталей гальваническим путем. При этом площадь поверхности детали (S) известна. Толщина слоя (h) - высота. Объем определяют произведением площади и высоты: V=Sh.

Задача 2. Для кубов интересной, с математической точки зрения, может выглядеть задача определения объема, если известна площадь одной грани. Известно, что объем куба: V=a 3 , где а - длина его грани. Площадь боковой поверхности куба S=a 2 . Извлекая из площади, получаем длину грани куба. Используем формулу объема, вычисляем его значение.

Задача 3. Вычислить объем фигуры, если известна площадь и даны некоторые параметры. К дополнительным параметрам можно отнести условия соотношения сторон, высот, диаметров основания и многое другое.

Для решения конкретных задач понадобятся не только знания формул расчета объемов, но и другие формулы геометрии.

Определение объемов памяти

Совершенно не связанная с геометрией задача: определить объем памяти электронных устройств. В современном, достаточно компьютеризованном мире эта проблема не бывает лишней. Точные устройства, какими являются персональные компьютеры, не терпят приблизительности.

Знание объемов памяти флешки или иного накопителя полезно при копировании, перемещении информации.

Немаловажно знать объем оперативной и постоянной памяти компьютера. Часто пользователь сталкивается с ситуацией, когда «не идет игра», «виснет программа». Проблема вполне возможна при низком объеме памяти.

Считается байт и его производные (килобайт, мегабайт, терабайт).

1 кБ = 1024 Б

1 МБ = 1024 кБ

1 ГБ = 1024 Мб

Странность в данной системе перерасчета следует из двоичной системы кодирования информации.

Размер памяти запоминающего устройства является его основной характеристикой. Сравнивая объем переносимой информации и объем памяти накопителя, можно определить возможность его дальнейшей эксплуатации.

Понятие «объема» настолько масштабно, что в полной мере уяснить его многогранность можно только решая прикладные задачи, интересные и увлекательные.

Как посчитать объем комнаты в м3

• Если помещение прямоугольное, без ниш и выступов, то все просто: измеряем длину, ширину и высоту комнаты и перемножаем все три числа. Чтобы получить объем в кубических метрах измерять надо в метрах.
• Для стандартных бытовых задач достаточно точности до сантиметра. Полученный результат можно округлить до двух знаков после запятой. Например: комната имеет длину 5,20 м, ширину 3,43 м и высоту 2,40. Умножаем 5,2 х 3,43 х 2,4 = 42,8064. Число смело можно округлить до двух знаков после запятой. Получаем объем комнаты 42,81 кубических метра.
• Еще проще, если вы уже знаете площадь комнаты. Тогда достаточно измерить только её высоту и умножить её на известную вам цифру. Подобным образом можно посчитать объем любого прямоугольного параллелепипеда, хоть спичечного коробка, хоть холодильника.

Как посчитать объем в м3, если это не параллелепипед?

• Если в комнате есть ниши, выступы или сама она сложной формы, то задача усложняется. Нужно разбить пространство на несколько параллелепипедов, посчитать объем каждого, а потом сложить.

Кстати: если вам известна площадь комнаты, то никакого усложнения не будет. Потому что при расчете площади все уже учтено. Так что просто умножьте её на высоту потолка.

• Вообще, измерить примерный объем любого предмета, даже самой нетривиальной формы можно с помощью деления на простые прямоугольные формы. Измеряем каждую в отдельности, считаем объем для частей и складываем результаты. Понятно, что такой результат будет не очень точным. И, чем сложнее предмет, тем больше ошибка.

А если я хочу узнать точный объем в м3?

Есть способ узнать объем любого предмета с высокой точностью. Но он подойдет вам только если эта вещь не боится воды и у вас есть ванна подходящего размера. Дело в том, что согласно закону Архимеда, тело, полностью погруженное в воду, вытеснит количество воды, равное своему объему. То есть достаточно набрать полную ванну воды, погрузить в нее предмет, собрать всю воду, что выльется за края и измерить её объем любым доступным способом. Например, с помощью мерной кружки.

Измерение объема с высокой точностью – довольно нетривиальная инженерная задача. Но высокая точность в обычной жизни редко необходима. А для получения примерного результата нужны лишь линейка и калькулятор.

Прежде чем приступить к расчету каких-либо величин, необходимо определиться с терминологией. Что собой представляет цилиндр? Данное геометрическое тело состоит из боковой цилиндрической поверхности и 2 областей-оснований. Первая образована множеством отрезков, параллельных друг другу, – образующих цилиндр. Они соединяют верхний и нижний круги – основания фигуры. В данном случае речь идет о круговом цилиндре, который может быть как наклонным, так и прямым. Помимо этого существуют и другие цилиндрические поверхности 2 порядка – эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры.

Цилиндр – математический расчет объема

В случае, когда образующие объемной фигуры равны и перпендикулярны основаниям, мы имеем прямой круговой цилиндр. Если угол между образующими и плоскостями, в которых расположены круги, отличен от 90° – цилиндр наклонный.

Круговой цилиндр прямой

Данное тело представляет собой объемную геометрическую фигуру, полученную путем вращения прямоугольника вокруг одной из сторон. Последняя выступает в роли оси. Определим объем данного геометрического тела.

• V – итоговая искомая величина (объем),
• S – площадь основания фигуры,
• H – высота фигуры.

В случае кругового цилиндра его основаниями выступают круги, из чего следует, что необходимо рассчитать площадь круга. Для этого воспользуемся формулой S=πr 2 , где π – постоянная величина, значение которой равно ≈3,14, а r – радиус круга, лежащего в основании фигуры. Исходя из соотношения r=d/2, где d – диаметр круга-основания, площадь основания можно вычислить по формуле S=πd 2 /4.

Ввиду вышесказанного, определение объема цилиндра требует определения таких его параметров, как высота и радиус (или диаметр) основания. Если цилиндр прямой, то длина его направляющей равна его высоте.

Наклонный круговой цилиндр

Для данной объемной фигуры по-прежнему справедливо соотношение для нахождения объема, с той лишь разницей, что его высота не равна направляющей. Как определить высоту фигуры, если в распоряжении величина образующей? Из центра верхнего основания опускаете перпендикуляр (он же высота) на нижнюю плоскость (в которой расположено второе основание цилиндра). В результате образовался прямоугольный треугольник (его стороны – высота цилиндра, радиус его основания, направляющая). Воспользуемся определением одной из тригонометрических функций. sin⁡α=h/l, т.е. h=sin⁡α*l.

• h – искомая высота,
• l – длина направляющей,
• α – угол между направляющей и плоскостью основания.

Подобного рода вычисления актуальны при решении математических задач на основании имеющихся данных.

Цилиндр – практические измерения объема

Следующая техника поможет, если перед вами стоит задача определить объем цилиндра, воспользовавшись подручным измерительным средством – линейкой. С ее помощью вы без труда определите высоту геометрического тела, а вот как быть с радиусом круга?

Прямоугольник может быть вписан в любую окружность, причем, его гипотенуза и будет являться диаметром исходной окружности. Воспользуемся данным соотношением. Возьмите прямоугольный лист бумаги и расположите вершину A его угла (90°) на дуге окружности. Отметьте на листе точки пересечения сторон прямоугольника (выходящих из вершины A) с окружностью. Соедините эти точки на листе бумаги. Длина полученного отрезка и будет равна диаметру круга-основания. Вернувшись к формуле V=S*h=hπd 2 /4, отыскиваете необходимую величину.

В мире достаточно множество предметов имеют цилиндрическую форму, объем которых периодически приходится рассчитывать. Это может быть кулинарной задачей, а может пригодиться в строительстве. В данном случае сфера использования не так важна, а важна методика расчета. В математике, описывающей различные объекты и явления нашей жизни, таким средством выступают теоремы и формулы.

Алгоритм определения объема цилиндра

Вернемся к методике расчета объема цилиндра, если известны его высота и радиус. Для начала потребуется ответить на ряд нетрудных вопросов. Сначала нужно определить, какой цилиндр перед вами.

Часто рассматривают классический идеальный вариант, когда цилиндр получается путем вращения прямоугольника вокруг одной из своих сторон, и тогда основаниями являются круги, радиусы которых равны между собой, а высотой будет образующая. Такой цилиндр называется круглым прямым.

Второй задачей в определении объема цилиндра является нахождение высоты. Воспользоваться правилом будет проще простого. Достаточно лишь соединить центры кругов между собой.

Как рассчитать объем круглого прямого цилиндра

Объем круглого прямого цилиндра представляет собой произведение площади круга, лежащего в основании цилиндра, на высоту и выражается следующей формулой:

V = П*R 2 *Η, где:

• V - объем цилиндра;
• Π = 3, 14 и является величиной постоянной;
• R - радиус;
• H - высота.

Решение: V = 3,14*6*2*2=75,36 см 3 .

Как рассчитать объем усеченного круглого цилиндра

Ситуация меняется, если мы имеем дело с усеченным круглым цилиндром. Отличительным признаком такого вида цилиндров от классического может быть то, что его основания не лежат на параллельных плоскостях, а потому формула расчета объема цилиндра обретает несколько иной вид:

V = П*R 2 *(H 1 +H 2)/2, где:

• V - объем цилиндра;
• R - радиус;
• H1 - большая высота;
• H2 - меньшая высота.

Решение: V = 3,14*3*3*(5+3)/2 = 113,04 см 3 .

Высоты пронумерованы произвольно, так что для решения конкретной задачи порядок может быть выбран самим участником. Как известно, от перестановки мест сумма не меняется.

Существуют и другие виды цилиндров, например: эллиптический, параболический и гиперболический. Они описываются уравнениями второго порядка, и для расчета их объема необходимы совершенно другие параметры.

Также вам могут быть полезны эти статьи.

Не возникнет проблем. Стоит просто умножить величину длины, ширины и высоты, измеренные в метрах друг на друга. Например, длина – 3 метра, высота – 1 метр, ширина – 15 метров. Пример – умножаем 1 на 15 и на 3. Произведение величин – 45 кубических метров (или ).

Проведите следующие подсчеты при определении объема. Известно, что для каждого вещества существует свой удельный вес, который соответствует весу одного кубического дециметра или одного (для жидкостей). Так вода имеет удельный вес, равный 1,0 кг/дм3. Это означает, что 1000 составят один кубический метр. Таким образом, для определения количества кубометров, исходя из имеющегося веса, нужно знать удельный вес этого вещества.

Измерить кубический объем можно еще одним простым способом. Для этого погрузите предмет, объем которого в нужно узнать, в воду. Объем вытесненной воды будет равен объему предмета. Так как удельный вес воды, речь о котором шла выше, 1,0 кг/дм3, то объем вы подсчитаете достаточно .

Видео по теме

Обратите внимание

При переводе одной величины в другую стоит обратить внимание в первую очередь на плотность вещества, так как его удельный вес может быть использован при проведении расчетов. Помимо всего прочего, необязательно использовать измерительные приборы для проведения замеров. Могут быть использованы и стандартные подручные средства. Например, вещь, длину которой вы точно знаете. Если вам встретится понятие «погонный метр», то это означает обычный метр, определенный в длину.

Полезный совет

Обратите внимание на то, что не всегда просто высчитать кубический объем. Порой не достаточно знать только погонные (или линейные) размеры. Для определения кубического объема однородного вещества без просветов может быть достаточно проведения замеров. А для определения объема неоднородных предметов, между которыми в силу их состояния или природы могут быть зазоры (дрова, металлические предметы, детали и т.д.), стоит прибегать к более сложным расчетам: через удельную массу или плотность вещества, а также его вес.

Источники:

• калькулятор кубических метров

Метр в кубе , кубический метр или - стандартная единица измерения объема. В этих единицах рассчитывается объем помещений, а также расход воды и газа. В них же нередко указывается количество некоторых стройматериалов, например, досок. В кубические также переводят остальные, внесистемные единицы измерения объема - литры, кубические дециметры и сантиметры.

Вам понадобится

• - калькулятор;
• - таблица плотности веществ;
• - компьютер.

Инструкция

Чтобы рассчитать количество кубометров, если объем известен, но задан в дольных, кратных или внесистемных единицах, то умножьте его на нужный коэффициент. Например, чтобы рассчитать количество метров в кубе для кубических дециметров (литров), умножьте их количество на 0,001.Для перевода в сантиметров и миллиметров кубических умножьте их количество на 0,000001 и 0,000000001, соответственно.

Пример: рассчитайте сколько кубометров воды в одном ведре.Решение: объем обычного ведра составляет 10 литров. Умножьте это число на одну тысячную: 10 * 0,001 = 0,01м?.Ответ: объем воды в ведре – 0,01 кубометра.

Если задана масса тела, то чтобы рассчитать количество метров в кубе , умножьте ее на плотность. Массу предварительно переведите в , а плотность - в кг/м?. Плотность вещества легко найти в интернете или в соответствующих справочниках. Если неизвестно или тело состоит из () нескольких веществ в неизвестной , то измерьте плотность самостоятельно. Если в задаче фигурируют низкоконцентрированные , то их плотность можно принять равной плотности воды - 1000 (тонна) на метр в кубе .

Рассчитать количество кубометров часто можно и на основании формы и размеров тела (емкости, помещения). Например, если тело похоже на прямоугольный параллелепипед то его объем равен произведению длины, ширины и высоты (в качестве высоты может подразумеваться толщина или ).

Если основание тела имеет сложную форму и постоянную высоту (призмы и цилиндры), то умножьте площадь основания тела на его высоту. Так, например, для круглого цилиндра площадь основания равняется?r?, где r – радиус окружности, находящейся в основании цилиндра.

Видео по теме

Невозможно построить дом или возвести другое строение, не имея при этом проекта, в котором бы учитывалось все, в том числе и расход материалов, а в частности, нужный объем бетона.

Вам понадобится

• - исходные данные;
• - калькулятор.

Инструкция

Прежде чем приступить к расчету требуемого объема бетона , определите тип фундамента (он может быть столбчатым, плитным и ленточным), а также его конфигурацию. Выбор типа фундамента и его конфигурации обусловлен несущей способностью грунта, на котором запланировано строительство объекта.

Чтобы рассчитать плиточный фундамент, вам необходимо знать толщину плиты и площадь поверхности, а также наличие таких дополнений, как ребра жесткости, ну и, естественно, их размеры. Минимальная толщина плиточного фундамента составляет 10 сантиметров. Припустим, что площадь возводимого строения составляет 36 м2 (6х6), значит, для заливки плитного фундамента с минимальной толщиной понадобится 36 м2 х 0,1 м = 3,6 м3.